本帖最后由 枕妞臂 于 2018-4-3 21:22 编辑
1 前言:问题的提出
前些日子网络上有很多牌友在讨论一对词组:fair和unfair。比如:
还有:
这对词组被万智牌圈说了很多年,但还没有人能给出一个准确的界定。
在日文网站MTGwiki.com上边,unfair被描述为希望用“非正常手段”获得胜利的套牌,包括追求尽早获胜的组合技或者高协同性套牌,让其他套牌的主牌很难与之互动。组合技例如掘坟,高协同性套牌例如侵染和共鸣。摩登贴皮、塔脉炉这种也算是unfair。而fair被描述为用“正常手段”取胜的套牌,以堆砌单卡价值为主要思路。所举的单卡实例包括塔莫耶夫、徘徊灵魂以及扫场。Fair里边分成了beatdown/aggro、control、midrange、aggro-control(即tempo套牌)等几类;即使beatdown和control这种牌外挂了组合技,也归在fair套牌里。这种定义是从取胜的方式来理解,符合牌手的一般认知。
在我写的《资源的转换和对等》里,我尝试从资源的角度来理解这一对词组。我的理解是:从资源的角度说,unfair这个词应该翻译成“不对等”。所有的unfair套牌的设计理念,都是追求在某类资源上的高度不对等。比如MUD,它的优势在于有速度远远超过对手的法术力基础,还在于用虚空圣杯和三定法球这样的永久物封锁对手的手牌。在这个基础之上,它拥有个头巨大的生物(例如亚龙卷、白金皇像)和功能恐怖的旅法师(例如卡恩、乌金)。它的劣势在于牌库资源的分布过于不均衡,当你有八个费的时候,下一掏可能是乌金,也可能是灰黑巨石;还在于它是无色,不能享受到颜色轮里面每个颜色带来的好处,因而牌库资源有限。所以说这套牌整体上是平衡的,但是追求某类资源的不对等。再比如说掘坟和教诲,它们追求的就是生物质量的绝对不对等,为此可以牺牲手牌(莲花瓣)和生命(古墓)资源;而风暴套牌追求的是单回合咒语密度的绝对不对等,为此牺牲的是牌库里的单卡质量(黑暗祭礼)和生命资源(倒胃口);妖精追求的是场面生物数量的绝对不对等,为此牺牲每个生物单体的质量,等等。
在以上说的各种资源里,我觉得法术力是一个值得重点探讨的元素。毕竟,法术力作为资源转换的“交易成本”,在很大程度上决定了资源转换的速度,从而就反映出了资源的不对等程度。所以在这篇文章里,我试图通过分析套牌的法术力基础,探讨判断“不对等”的指标是什么。
2 对套牌法术力基础的解析
2.1 法术力曲线
在我们的第一印象里,“不对等”首先体现在了制胜手段的法术力费用上。比如,一个用重获自由的卡恩作为制胜手段的套牌,在我们的心目中是典型的unfair,即不对等套牌。而用掘密师或者死亡阴影作为主力的套牌,是很典型的对等套牌。我们经常会听到一种说法,即一套牌的法术力曲线是高还是低。使用卡恩的套牌,其法术力曲线必定高于使用掘密师的套牌。那么,什么是法术力曲线?法术力曲线高低,和套牌的不对等性高低,之间有没有关联?
法术力曲线有两种,一种是“分布曲线”,另一种是“累积曲线”。我们先以摩登赛制的洁斯凯控制为例,看一下这两种曲线。
牌表如下:(注:本文牌表均来自于2017年7月和8月MO League 5-0套牌。)
除了25张地牌以外,统计在每个费用数值上的单卡数量,得出一个表格:
以此为基础,我们就能绘制出这套牌的法术力分布曲线:
这条蓝色的曲线,就是法术力分布曲线。我们能看到,洁斯凯控制这套牌的法术力集中在1费和2费。同样的道理,我们来看一下奥札奇塔脉炉。
牌表如下:
法术力分布曲线如下:
看起来,奥札奇塔脉炉的费用集中在0、1和3费上。但是,这样做出来的结论非常粗糙。一张牌的理论费用和实际费用可能有所差别。比如说,我们都知道,迅咒法师是一个2费的咒语,但是在实战中我们极少会2费空跳一个迅咒出来。一般情况下,我们都是在自己有3费的时候才会用到迅咒,因为要给1费返照闪电击、流放之径、浆液预示等咒语。史芬斯的启示理论费用是3,但不会有人施放x=0的启示。同理,在奥札奇塔脉炉里,我们也基本上没有机会3费施放肢解。而且,虽然虚空圣杯理论上是0费,在绝大多数场合下我们还是要让x等于2。另外就是有一些功能地,比如魂魅城区,我们在设计套牌的时候就没把它当成一张能产费的地。这在摩登赛制里还不太明显,在薪传赛制中体现得更加突出——荒原、大礼拜堂、黑暗深渊等,主要功能不是用来产费。所以考虑到上述情况,我们要对单卡的费用进行一些修正。例如洁斯凯控制,我们可以修正成:
其中迅咒法师由2修正为3,史芬斯的启示由3修正为6。魂魅城区从0修正为1,理解为1费炸地咒语,它依然算作地,因为要占用当回合下地的额度——你不能在同一回合下多个魂魅城区去炸地(荒原同理),所以它不能算作0费炸地。类似地,奥札奇塔脉炉修正为:
其中虚空圣杯、自行弩炮都从0修正为2,肢解从3修正为1。另外,由于奥札奇殿堂的减费效应,以及塔脉炉的多费效应,高费咒语的实际费用都做了改动。比如说,如果我们的塔、脉、炉同时在场,那么三张地就可以施放卡恩。换个思路,如果我们假设每张地只能产1费,那么卡恩就是个3费的咒语。考虑到不会每把都准时抓齐塔脉炉,我们可以用一种比较经验的方法去近似。根据我的观察,在对手不炸地的前提下,平均下到5地时候有望施放卡恩,那么我就把卡恩的费用修正为5。每张地只能产1费,这是本文的一个重要假设。只有这样,不同套牌的法术力基础才能横向对比。
在修正的基础上,我们重新审视两套牌的法术力分布曲线:
于是我们看到,两套牌的法术力曲线基本上都呈现下降状态,也就是费用越高的咒语数量越少。在直观上能感觉到,这样的分布曲线比用理论费用画出来的图要更合理。从这两张图上,我们还能看到法术力分布曲线的优势和不足。它的优势在于很容易看出一套牌的咒语在法术力消耗上的分布是不是均匀——按照一般牌手的说法,就是“法术力曲线是不是平滑”。分布曲线起伏越小,反映出这套牌在各个费用上的分布越均匀。而且这种方式有助于对比两套牌法术力的消耗情况差异,比如说费用集中在哪些上,最高费用是多少,等等。
但是,法术力分布曲线有自己严重的不足。首先,套牌的法术力分布并非越平滑越好。我们很难想象一套有24地、36咒语的牌,其法术力费用呈现均匀分布,比如1费至6费各六张。Alexander Shearer(2012)在《致命的四费标识》(The Deadly Four-Mana Mark)中曾经建立了一个模型,研究“第N回合拥有N块地的概率”,我将其称为“法术力保障水平”。请注意,他的文章也假设每块地只能产1费。上述两个牌表进行法术力修正之后,洁斯凯控制是36咒语24地,奥札奇塔脉炉是38咒语22地,它们的法术力保障水平情况分别是:
可以看出,这两套牌第三回合能有3块地的几率都超过了70%,因此大概率能够正常施放咒语。然而不考虑极少数顶费咒语的话,洁斯凯控制4费的保障水平是63%,奥札奇塔脉炉5费的保障水平不到37%。所以后者相对于前者,虽然曲线看起来更平滑,但实际上法术力基础的稳定性要差得多。
其次,我们一般的语言里,提到套牌的法术力曲线,总是说“高”或者“低”。其实平均法术力费用的高低,和法术力分布曲线的高低,并不是一回事。法术力分布曲线的高低,只反映套牌法术力的集中程度,不反映平均费用。例如,洁斯凯的曲线高点是12,塔脉炉的曲线高点是10;但前者的平均实际费用是2.50,后者的平均实际费用是2.76。第三,虽然这条曲线的平滑度能够在某种程度上体现出套牌费用是否均匀,但均匀度和稳定性不是一回事。Shearer文章的一个重要结论就是“5费比4费多了不止1费”。法术力费用越高,保障水平就越低。因此,如果同是25地、35咒语的两套牌,前者费用分布是1费至5费各7张,后者分布是3费至7费各7张,那么根据Shearer的结论,前者的法术力基础稳定程度要远好于后者。
同样的曲线高度,法术力基础的稳定性差异巨大
所以为了弥补上述缺陷,我们可以用法术力累积曲线来研究套牌。法术力累积曲线是把单卡按照法术力费用由小到大排序,然后逐一累加,得出一条升高的曲线。我们还是用上述两套牌,去掉地牌,将咒语的法术力费用修正到实际费用,然后来进行排序。横轴是累计的张数,纵轴是累计的费用。[/p][p=null, 2, left]首先是洁斯凯控制:[/p]
然后是奥札奇塔脉炉:
然后我们将这两张图叠合进行比较:
于是我们看到,这两套牌在低费区的曲线基本重合,而累计张数超过20之后,奥札奇塔脉炉的法术力累计曲线明显要高于洁斯凯控制。我们回到数据表,找到这两套牌累计张数为20的点,能够看到是在2费和3费上,即奥札奇套牌在3费上的咒语出来的比洁斯凯要早。牌手们平时所谓的“曲线高”,所指的就是法术力累积曲线。
那么,我们从法术力累积曲线上,能不能找出unfair套牌的普遍规律呢?比如说,是不是unfair属性越突出的套牌,其曲线就越高呢?我统计了薪传和摩登的32套牌(包括薪传18套、摩登14套),它们的法术力累积曲线如下:
在以上两张图中,有些曲线在尾端出现了突然增高的现象。这种“翘尾效应”的原因大都在于,建构模型时,对一些牌的法术力费用做了修正。其中一条修正原则是:凡是无法生拍或者基本上不会生拍的咒语,费用按照9计算。因为这两个赛制可以生拍的顶费咒语在8费(灵龙乌金),9费的牌就可以视为抓到后永远无法施放,例如偷袭套牌里的棘泽边。
如果我们不考虑翘尾效应,那么薪传赛制的图中曲线最高的几套牌分别是哨站、死税、四色黑土和奥札奇;曲线最低的几套牌分别是红蓝掘密师、侵染、格利极掘密师和倒胃口风暴。摩登赛制的图中曲线分布非常集中,很难说哪些套牌的曲线显著比其他套牌高;但是明显有四套牌,即共鸣、倒胃口风暴、格利极阴影和纳雅烧,曲线比其他套牌都要低。就薪传赛制来说,曲线的高低和不对等程度貌似没有直接关系。无论曲线最高的几套牌,还是曲线最低的几套牌,里面都混杂了一般认知里的对等(例如死税、掘密师)和不对等(例如哨站、风暴)两类套牌。就摩登赛制的这四套牌低曲线套牌来说,除了格利极阴影以外,其余三套都是一般意义上的不对等套牌。但是其他不对等套牌,例如奥札奇塔脉炉、礼物风暴等,和其他对等套牌在曲线上没有明显差别。可见,法术力曲线不能有效地反映出套牌的不对等性。
2.2 标准差和基尼系数
法术力曲线主要反映了一套牌法术力消耗量的大小,但是不能很好地反映出套牌消耗法术力的不均匀程度。在我们的印象里,对等套牌的法术力消耗多是线性增加的,第一回合施放1费咒语,第二回合施放2费咒语,以此类推。但是不对等套牌追求资源转换上的不对等,所以就会用非常规的方式消耗法术力。比如说薪传的倒胃口风暴,就会用莲花瓣、黑暗祭礼这样的手牌资源换取法术力,而争取在第一或第二个回合就凑出7个费,然后接连施放炼狱导师和倒胃口。除了传统组合技以外,不对等套牌还可能会追求很高的协同性,这就要求它们在一两个回合内把手牌资源转化为战场资源。例如共鸣,会使用大量的0费生物。第一回合放空手牌、在第三回合打死对手的摩登共鸣,和同样第一回合放空手牌造出16个鬼怪衍生物、第三回合打死对手的薪传喷火炮,从本质上说没有差别。这也是为什么共鸣被广泛认为是不对等套牌。这样的构组思路,会导致不对等套牌建立起独特的法术力基础。从直观上看,套牌组件的法术力费用分布应该具有很大的不均匀性。
在数学上,我们衡量样本集合的不均匀性,也就是各样本相对于均值的偏离程度,一般用标准差这个指标。我尝试计算了若干薪传套牌的法术力费用(修正后的,下同)的均值和标准差,结果如下:[/p]
在这张表上,标准差大于1.5的套牌有5套,包括教诲、掘坟、妖精和哨站,全部都是一般认知里的不对等套牌。其余不对等套牌,例如风暴、地、奥札奇、黑绿深渊、红烧等,在标准差数值上没有表现出独特性。[/p][p=null, 2, left]这说明标准差这个指标有一定的意义,但也存在缺陷。标准差反映的是样本偏离均值的程度,这会导致认知偏差。我们假设有A、B两套牌,每套牌只有4张咒语。A套牌的法术力费用分别为1、2、3、4,而B套牌的法术力费用分别是3、4、5和6。这两套牌法术力标准差是相等的,但法术力基础显然不一样。作为B套牌,我们可以设想,它的运作方式很有可能是按照回合数的前进,线性地施放这些咒语。而A套牌,更有可能出现在单一回合连续施放出全部咒语的情况,也就是以低费咒语作为高费咒语施放的条件。这样的A套牌,更符合不对等套牌在我们头脑中的印象。所以,我们需要另一个指标来描述这样的法术力分布状况。这个指标就是基尼系数。在经济学上,这个指标用来衡量一个地区人口收入差距的大小。我把它借用过来,称为“法术力不均匀指数”。它的计算基础是法术力累积曲线。法术力累积曲线和绝对平均曲线之间的面积为x,累积曲线右下方的面积为y。不均匀系数就是x除以(x+y)的商。例如下图,摩登洁斯凯控制套牌的不均匀指数是0.304。
还用刚才的例子解释。A套牌的法术力费用分别为1、2、3、4,相比于最低费咒语,其他三张咒语的值分别是2倍、3倍和4倍;而B套牌的法术力费用分别是3、4、5、6,相比于最低费咒语,其他三张咒语的值分别是1.33倍、1.67倍和2倍。从这个角度看,A套牌的法术力构成更加不均匀。所以,不均匀指数在反映不均匀性上比标准差要更好。
我计算了薪传18套牌和摩登14套牌的不均匀指数,结果如下:
可以看出,无论薪传还是摩登,不均匀指数大于0.38的牌,几乎全都是我们一般认知里的不对等套牌。唯一的问题出在薪传的明师奇迹上。但是考虑到其取胜方式是拍出寺院明师之后靠一两个回合的滤牌咒语膨胀,这也是一种高协同+高爆发的现象,因此归在不对等套牌里也不是原则问题。不均匀指数小于0.37的套牌,几乎全都是我们印象里的对等套牌。但是在这个区间段,薪传赛制的地、奥札奇、哨站和红烧,以及摩登赛制的奥札奇塔脉炉,是我们印象里的不对等套牌,没有被筛选出来。问题可能出现在以下两个方面:
第一,哨站和奥札奇套牌都用了能产多费的地,例如云际哨站、古墓、叛徒之都、奥札奇殿堂等。由于我们的模型假设一张地只能产1费,对于奥札奇这种法术力基础极为特殊的套牌,我们采用的变通方式是调低了咒语的施放费用——横置两个双费地,出一个4费的咒语,在模型里被考虑成横置两个1费地,出一个2费的咒语。这样实现了与其他套牌在累积曲线上可比,但是抹杀掉了这种法术力基础的独特性。
第二,地套和红烧是不是不对等套牌,确实可以进一步考虑。本文之初引用的MTGwiki.com的观点认为,control套牌即便外挂组合技,也应算作对等套牌。就地套而言,黑土、荒原、迷宫、柳树放火这样的打法,基本上属于控制的思路;在控制的基础上,外挂了深渊舞台组合技。它和追求极速造出20/20的黑绿深渊套牌思路不同。但我们的思路前后不能矛盾——既然外挂了明师的奇迹可以算作不对等套牌,那么地套为什么算作对等套牌?这确实需要进一步研究。至于红烧,它既不是组合技,组件之间也是以简单堆砌为主而协同性比较差,所以算作对等套牌也没有大问题。
由此可见,不均匀指数较高是不对等套牌法术力费用的重要特点,可以作为不对等套牌的一个参考判定标准。
3 需要进一步研究的问题
第一个问题是,不均匀指数是不是不对等套牌的最佳判定标准?由于模型的局限,在不均匀指数较低的套牌里,存在着奥札奇这样的不对等套牌,但是不均匀指数高的套牌,几乎全都是不对等套牌。因此可以说,不均匀指数较高是不对等套牌法术力费用的重要特点,但能不能下结论说,凡不均匀指数高的套牌一定是不对等套牌?我们有没有可能找到更好的指标?
第二个问题是,当我们抛弃了经验而采用了统计,得出的结论是否还具有指导意义?前文说过,就不对等套牌,我们的经验理解是那些追求尽早获胜的组合技或者高协同性的套牌。我们本来不必去统计,就能大致区分开对等和不对等套牌。当我们采用了统计手段之后,以后是不是看到一套牌后,先去计算其不均匀指数,然后根据结果落在哪个区间来判定其是不是不对等套牌?
第三个问题是,我们用统计手段筛查出了不对等套牌,有什么实践指导意义?目前我的研究,更多是出于求知欲,即“我就是想知道”。那么知道了以后呢?Shearer文章的结论是“5费比4费多了不止1费”,这样能够在一定程度上指导操控,让牌手根据自己套牌的法术力基础,预期什么时候(第几回合)去结算5费的咒语,并依此做出游戏计划。而“不对等套牌的法术力不均匀指数偏高”的指导意义在哪里?我认为,不均匀指数高的套牌,施放咒语要么有替费手段,要么就是用手牌换取法术力,所以在实际对局里,除了极少数的地以外,对地数量的需求不高。所以当我们使用对等套牌,面对这些不对等套牌的时候,我们自己的荒原/魂魅城区等功能地,不应当优先用于炸对手的地。比如我就主张,在薪传掘密师面对风暴的时候,备牌局里应该换掉一部分荒原。或许不均匀指数这个指标还能够帮助套牌设计师在构组套牌的时候搭建更合理的法术力基础,不过目前我还没有思考清楚。
第四个问题是,对套牌法术力的修正方法能不能更合理?我在文末会列出我所采用的修正原则供读者参考。如果我们找到更合理的修正方式,或许统计结果会有说服力。
法术力修正原则:
1)凡是无法生拍或者基本上不会生拍的咒语,费用按照9计算。因为这两个赛制的生拍的顶费咒语在8费(灵龙乌金),9费的牌,就可以视为抓到后永远无法施放。这样的例子包括全知全能、万世创伤伊莫库、棘泽边,以及摩登发掘中的可怖血妖、珍奇拼合怪等等。
2)凡是因为替费或其他付费方式而不需要法术力的咒语,费用按照0计算。比如意志之力、目眩、吉塔厦探刺等。同理,肢解、暗窖斯克魔、古尔玛钓客等,费用定为1。
3)凡是目的不是用来产费,或者实战中极少用来产费的地,费用按照其功能消耗的法术力计算。例如荒原和魂魅城区定为1,伊斯的迷宫定为1,静谧灌丛定为1,等等。另一些根本不能产费的功能地,例如大礼拜堂、冰河裂隙、黑暗深渊等,费用定为1。这样定的理由是:它们不能定为0,因为它们要占用下地的额度,不能像其他0费咒语(如莲花瓣)一样在同一回合用出多个,于是把它们看作用1费施放(因为自己就是一张地)的一个神器或结界就好了。但是力夏达港、遍野林冠等主要功能是产费、兼有其他功能的地,以及乌金之眼这样变相产费的地不在此列。
4)一些带有x的咒语,例如虚空圣杯、绿阳当空等,考虑其x的概率,赋予近似费用值。例如虚空圣杯,绝大多数情况都是用来封1,所以费用定为2。绿阳当空在Maverick里多用来1费找树灵乔木和4费找圣物骑士,因此用加权的方式,费用定为2.5(=1*0.5+4*0.5)。
5)猿猴精怪向导和妖精精怪向导这样的直接产费牌,费用定为0。
6)因需要其他咒语配合,经常要在有更多法术力时才会施放的牌,例如迅咒法师和寺院明师,费用适当提高。
7)一些进场费用可变的牌,例如颅击槌(因为曾哥),以及奥札奇套牌的各种组件(因为减费效应、双费效应的地),费用适当减少。
附件: 1396